基于高阶有限元法的均匀流中物体二阶波辐射问

波-流-体相互作用是船舶与海洋工程中最具挑战性的课题之一．流的存在会显著改变波浪参数，如波高、频率等．船舶和钻井平台等海洋结构物在波-流联合作用下,其受力和运动发生显著变化,甚至会导致结构物的破坏从而影响其安全性．因此，对波-流-体相互作用研究在海洋工程领域备受关注．

文献[1]中 基于时域线性理论,研究了位于均匀流中半圆柱的二维辐射和绕射问题,分析了均匀流对漂浮物体处的波浪爬高及作用在物体上的水动力的影响．随后,将此方法拓展到了三维垂直圆柱绕射问题[2]．文献[3]中也作了类似的研究，研究表明:当入射波传播方向和水流方向相同时,上游处的波浪爬高会显著增大,同时水流对作用在结构物上的水动力载荷有明显的影响,特别是对二阶平均力的影响尤为显著．文献[4-5]中采用时域二阶理论,计算了三维垂直圆柱处的波浪爬高及其所受水动力．国内学者也作了类似的工作[6-7]．目前完全非线性理论的波-流和结构物相互作用方法已经建立并得到应用[8-13]．相比较线性或二阶理论而言,基于非线性理论的数值计算需要更多的计算资源．

以上波-流-体相互作用研究主要是关于绕射问题,而对于波-流-体辐射问题的研究则很少,主要工作基于线性理论，如文献[1]．文中基于时域二阶理论,采用高阶有限元法研究均匀流中半圆柱的辐射问题,将文献[1]中的位于均匀流中的线性辐射问题扩展到二阶,计算自由表面波和半圆柱所受到的波浪力,分析水流对一、二阶波及作用在半圆柱上的一、二阶水动力的影响,同时讨论波和水动力在不同流速下的非线性特性．

1 控制方程

定义坐标系oxy(图1),x轴和静水面重合,y轴垂直向上,在无波动时水深为h．Sf为瞬时自由表面,Sb为半圆柱表面(物面),其单位外方向矢量为N=(Nx,Ny)．水底表面Sbot位置为y=-h,Sc为流体域?的人工截断边界．假设流体为均匀、不可压缩和无粘性的理想流体,且流体的运动为无旋．半圆柱运动时流场速度势φ满足Laplace方程:

若流场内存在大小为U0并沿x轴正方向的稳态流,则流场总的速度势为:

图1坐标系

Φ在流场内也满足拉普拉斯方程以及边界条件:

以及在Sc上满足辐射条件．方程中t、g和η分别为时间、重力加速度和波高,下标表示对其的导数．将方程式(2)代入式(3)～(6)并将φ和η进行摄动，展开到二阶:

式中：ε为小量(一般可取为波陡)；φ(0)为由水流作用引起的扰动势,而由其造成的波高忽略不计．φ(k)、η(k)(k=1,2)分别表示第k阶速度势和波高．同时,将水平位移X和角位移Θ也展开到二阶,在求解给定简谐运动的辐射问题时X和Θ只取到一阶,即X=εX(1),Θ=εΘ(1)．将方程式(7～8)代入方程式(1～6)可得各阶(k=0, 1, 2)定解问题:

式中，?(0)是由自由表面平均位置人工边界Sc、物面平均位置和水底部Sbot构成的流域．n=(nx,ny)为平均物面上的外法线方向．在方程中,表达式分别为:

φ(1)|2-

g(0)=-U0nx

在0阶时,η(0)=0以及此外,由于在时域内求解,需要提供初始条件．作用在物体上水动力为：

式中，p为压力,由Bernoulli方程有：

将式(2)代入式(15)再代入式(14)中并进行摄动，展开得:

F=F(0)+F(1)+F(2)+

式中，F(0)为由流引起的力,F(1)、F(2)和分别为一阶力、二阶力和二阶平均力[5]．

2 数值方法与计算分析

混合边值问题式(9～13)通过有限元法求解:

式中：K为有限元系数矩阵；F(k)为右端向量,其元素表达式分别为:

式中，Ni为单元插值函数，文中采用12节点等参单元．由于该类单元形函数为三次插值,对其二次求导后仍保持连续,故可以方便而精确地计算出二阶导数，如方程式(10、11、12)中的φxx、φyy和φxy．

由于在时域内计算,每一时刻自由面上的波高和速度势必须知道,文中采用四阶Adams-Bashforth格式计算(t+Δt)时步自由表面波高和速度势．同时,采用人工阻尼区(图1)来吸收反射波[14],保证外传波条件．

对均匀流中半径为a的半圆柱绕射问题进行计算, 水深h=10a．半圆柱做水平或垂直运动：

式中：A为运动幅值；ω为运动频率；t为时间．

先考虑付氏数Fn=0.064和0.128时的情况,付氏数定义为计算时取A/a=0.1．文献[1]中基于线性理论,用常数面元法研究半圆柱辐射问题，计算了离半圆柱无限远处的线性波(一阶波)．文中计算距离半圆柱中心5a处即x=±5a处线性波随无因次波数Ka的变化关系，波数K和ω的关系为ω2=KgtanhKh．图2为两种不同付氏数，文献[1]和文中计算的一阶波幅值|η(1)/A|结果的对比．无因次波数Ka在0.4～2.0，其符合程度总体较好．

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